Loesung Aufgabe 55
------------------

a) g(t): Good Guys at time t, b(t): Bad Guys at time t:

g ---> g-1 mit Rate beta b
b ---> b-1 mit Rate alpha g

Prozess endet sobald g oder b = 0.

Voraussetzungen:

1. Unabhaengiges Ballern
2. Jeder kann auf jeden schiessen
3. Ereignisse sind nur Treffer, welche Gegner ausschalten
4. Jeder schiesst mit einem Poissonprozess (eigentlich nur kleiner Anteil Treffer, aber wegen Lemma 8.5 b wieder Poisson)

b) 

highnoon<-function(u,v,alpha,beta){
	g<-u
	b<-v
	tau<-0
	tvec<-c(tau)
	gstate<-c(g)
	bstate<-c(b)	
	p<-0	
        while(g>0 && b>0) {
			tau<-tau+rexp(1, beta*b+alpha*g)
			p<-runif(1)
                	if(p <= (beta*b / (beta*b+alpha*g)))	g<-(g-1)
                	if(p > (beta*b / (beta*b+alpha*g)))	b<-(b-1)
			gstate<-c(gstate, g)
			bstate<-c(bstate, b)
			tvec<-c(tvec, tau)
			}
	plot(tvec, gstate, ylim=c(0, max(u,v)), xlab="Green is Good Guys, Blue is Bad Guys", ylab="Number of Guys", type="s", col="green")
	lines(tvec, bstate, type="s", col="blue")
	}


c) Wenn man zum Beispiel g(0)=100, b(0)=200, alpha=4, beta=1, eingibt, so gewinnen manchmal die Guten und manchmal die Bösen.

Wenn man den Fehler macht, zu glauben, dass man die Anzahl nicht quadrieren muss, gibt es einen klaren Sieg, zum Beispiel mit g(0)=1000, b(0)=200, alpha=1, beta=5. 

Was man immer sieht, ist dass einerseits die Verlierer mehr oder weniger linear gegen Null gehen und andererseits die Gewinner fast keine Verluste mehr haben, wenn der Verlierer nahe bei 0 ist.

Bei kleineren Zahlen spielt der Zufall eher eine Rolle und das N^2-Gesetz kommt nicht so klar zum Vorschein. Mehr in Kapitel 18.